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Interpolação Linear

Conceito de Interpolação Linear

Estratégia de cálculo que permite determinar, por aproximação, um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados. Às vezes as tabelas financeiras não fornecem o valor exato necessário para efetuar os cálculos que nos estão sendo solicitados – é ai que entra o método de interpolação linear: através dele, contornamos essa dificuldade, obtendo, mediante uma proporção simples, o valor desconhecido através de outros valores próximos, presentes na tabela.

Vejamos como se faz isto através de alguns exercícios de aplicação.

Calcular o montante o montante de um capital igual a R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 14% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano.

Resolução:

Observe que a capitalização é TRIMESTRAL. Logo, o prazo deve ser expresso em trimestres e a taxa anual deve ser convertida para a taxa trimestral.
C = 200.000
i = 14% a.a. (taxa nominal) => i = 3,5% a.t. (taxa proporcional)
t = 1 ano = 4 trimestres => n = 4
M = C (1 + i)n
M = 200.000 (1 + 0,035)4

Vamos à tabela e… não tem i = 3,5%. O que fazer?

Pense bem, você tem os fatores de acumulação de capital para 3% e para 4% na tabela. Para encontrar o fator de acumulação de 3,5%, calcule a média aritmética simples desses dois.

Parece esquisito, mas você está efetuando uma INTERPOLAÇÃO LINEAR. Estamos supondo que, uma vez que a taxa de 3,5% é equidistante aos valores 3% e 4%, o seu fator de acumulação deve ser também equidistante aos fatores de acumulação de taxas de 3% e 4%, ou seja, deve ser a média aritmética desses fatores.

Consideramos, então que: a3,5% = a3% + a4%/2 , onde:

a3,5% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3,5%
a3% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3%
a4% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 4%

Atenção: não efetue imediatamente as multiplicações; deixe tudo indicado pois assim você poderá simplificar as frações que forem aparecendo, diminuindo assim o trabalho de cálculo e economizando tempo. Procure se habituar a trabalhar desta maneira, porque na maioria dos concursos você não poderá utilizar máquina de calcular.

M = 200.000,00 100.000,00 . 1,125509 + 1,169859/2

M = 229.536,80

Vejamos agora como fica a interpolação quando a taxa fornecida não é mais número  do tipo “inteiro mais meio” (1,5%; 2,5%; 3,5% etc.)

João toma emprestado R$ 1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% a.a. compostos semestralmente. Quanto deve ele no fim de 4 anos?

Resolução:

Observe que a captalização é semestral
C = 1.000
i = 3,6% a.a. (taxa nominal) => i = 1,8% a.s. = 0,018 a.s. (taxa proporcional semestral)
t = 4 anos = 8 semestres => n = 8
M = 1.000 (1 + 0,018)8

Vamos à tabela no final deste capítulo e … não temos i = 1,8%.

Devemos, então, fazer a interpolação linear.

Vamos pegar da tabela as taxas que se encontram imediatamente a seguir e imediatamente acima da taxa de 1,8% (1% e 2% respectivamente). Com os fatores dessas taxas para n = 8, montamos o seguinte esquema:

O Teorema de Tales, que você deve ter aprendido na 8a série, diz que um feixe de retas ao cortar duas transversais produz segmentos proporcionais. Decorre disso que, se dividirmos, em cada reta transversal, o segmento superior pelo segmento todo, deveremos obter o mesmo resultado. Podemos, então, escrever a seguinte igualdade:

0,8/1 = x – 1,082857/0,088802

Multiplicando em cruz, obtemos:
x – 1,082857 = 0,8 . 0,088802
Resolvendo, encontramos que:
x = 1,153898

Portanto, o montante será igual a:
M = 1.000 . 1,153898
M = 1.153,89

Convenção Linear e Convenção Exponencial

Muitas vezes, em determinadas operações financeiras, o número de períodos calculados não se encaixa dentro do prazo, vindo a produzir número não inteiro de períodos. É o caso, por exemplo, de uma aplicação com capitalização anual, mas efetuada pelo prazo de 1 ano e 9 meses. Em situações como esta, devemos calcular o montante para parte inteira de períodos (1 ano) utilizando juros compostos e em seguida calcular, a partir desse montante, o montante final para a fração de período restante (9/12 de ano). A partir daí, surgem duas possibilidades de cálculo do montante para a fração do período: a convenção linear e a convenção exponencial.

CONVENÇÃO LINEAR: após calcular o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros simples, na parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator do juros simples (1 + in). No nosso exemplo, considerando uma taxa i, o montante ficaria assim:

M = C (1 + i)1 . (1 + i . 9/12)

Já na CONVENÇÃO EXPONENCIAL, após calcularmos o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros compostos, pela parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator de juros compostos (1 + i)n. No caso do exemplo em pauta, o montante seria assim calculado:

M = C(1 + i)1 x (1 + i)9/12

Exercício resolvido

Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000, aplicado a uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral, durante 4 anos e 2 meses.

Resolução:

C = 10.000
capitalização trimestral
i = 24% a.a. (taxa nominal) => i = 6% a.t.
t = 4 anos e 2 meses = 16 trimestres + 2 meses
t = 16 trimestres + 2/3 de trimestre

Sendo o prazo fracionário, podemos calcular o montante tanto pela convenção linear como pela convenção exponencial. O enunciado não especificou qual das duas deve ser utilizada. A título de ilustração efetuaremos o cálculo das duas maneiras.

Pela convenção linear
O montante composto M* relativo à parte inteira do prazo será:
M* = 10.000 (1 + 0,06)16
Consultando a tabela ao final deste capítulo, descobrimos que (1 + 0,06)16 = 2,540352. Logo,
M* = 10.000 . 2,540352
M* = 25.403,52
A partir desse resultado, vamos agora calcular o montante M para o período não inteiro, utilizando regime de juros SIMPLES:
M = C (1 + in)

M = 25.403,52 . (1 + 0,06 . 2/3)

M = 25.403,53 . (1 + 0,04)
M = 25.403,53 . (1,04)
M = 26.419,66

Pela convenção exponencial

M = 10.000 (1 + 0,06)16 + 2/3
M = 10.000 (1 +0,06)16 (1 + 0,06)2/3
M = M* (1 + 0,06)2/3
M = 25.403,52 (1,06)2/3
A dificuldade com que nos defrontamos agora é cálculo do termo (1,06)2/3, que só pode ser feito com auxílio de uma calculadora (o examinador, portanto, deverá fornecê-lo na prova). Descobrimos, com a calculadora, que (1,06)2/3 = 1,039610. Decorre que:
M = 25.403,52 . 1,039610
M = 26.409,75

Você deve ter percebido, no exercício anterior, que a diferença entre os montantes calculados por um e por outro método é pequena e que o montante pela convenção linear é maior do que montante pela convenção exponencial.

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