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Juros Compostos

Conceito de Juros Compostos

Antes de começarmos a estudar juros compostos, a título de comparação faremos uma pequena revisão do regime de capitalização simples. Nos capítulos anteriores, vimos que os JUROS SIMPLES apresentam as seguintes características:

1. são calculados sobre o capital inicial;

2. são diretamente proporcionais ao prazo (ou número de períodos), ao capital aplicado e à taxa de juros da aplicação;

3. são adicionados ao capital inicial no final do prazo, formando o montante.

Em suma,
Js = C.i.n
Ms = C(1 + in)

No regime de JUROS COMPOSTOS os juros são capitalizados não no final do prazo e sim no final de cada período, ou seja, o juro do primeiro período é adicionado ao capital inicial e sobre esse montante é calculado o juro do segundo período que por sua vez será adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do período seguinte, e assim sucessivamente.

Vamos a um exemplo:

Você aplicou 1.000 em uma insituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M3 no final desse prazo.

Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)

Então, o montante M1 no final do primeiro período será dado por:

M1 = 1.000
M1 = 1.000 . 1,02
M1 = 1.020

O montante M2 no final do segundo período será dado por:

M2 = 1.020 (1 + 0,02)
M2 = 1061,21

O montante M3 no final do terceiro período será dado por:

M3 = 1.040,40 (1 + 0,02)
M3 = 1.061,21

Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.

Fórmula do Montante a Juros Compostos

Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.

Calculemos o montante Mn no final dos n períodos utilizando o mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.

M1 = C(1 + i)
M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3

Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1 = C(1 + i)

Para o montante do segundo período, encontramos:
M2 = C(1 + i)2

Para o montante do terceiro,
M3 = C(1 +  i)3

É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:

Mn = C(1 + i)n

O fator (1 + i)n é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.

A fórmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo é obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n – C

Colocando C em evidência, obtemos:

Jn = C [ (1+ i)n – 1]

Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo da matemática financeira.

Existem determinadas expressões que indicam o regime de capitalização composta, tais como:

  • juros compostos
  • capitalização composta
  • montante composto
  • taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalização anual)
  • taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalização a cada bimestre)

A principal diferença entre o regime simples e o composto, entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos, através do enunciado do problema, o período das capitalizações. Em juros simples podíamosescolher o período de capitalização que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos não podemos fazer isso, pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.

Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.

Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplos:

  • dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a 4% ao mês.
  • dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranformá-la em uma taxa de 24% ao semestre.

Se não houver nenhuma indicação de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referência a regime composto, presumimos que o regime de capitalização seja simples.

Exercícios resolvidos

1. Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.

Resolução:

C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11

O problema está em calcular o fator de acumulação do capital. Não se desespere, esse valor é dado pelo examinador:

a) no início da prova; exemplo: (1,05)11 = 1,7103; ou

b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a seguir; nessa tabela, o valor de acumulação de capital que procuramos pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% com a linha n = 11:

Voltando ao cálculo do montante:

M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais fornecidas para o fator)

M = 17.103,39

2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.

Resolução:

Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses

Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual  mas a capitalização é mensal. Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.

Exemplo:

Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que deve ser capitalizada mensalmente, devemos determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. – é este valor que utilizaremos na fórmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa nominal de 36% a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, deveremos agora calcular a taxa semestral proporcional à taxa de 36% a.a., isto é, 18% a.s.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal; logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.

Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempo do período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres etc.

No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.

Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12

Devemos ir à tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar que, para i = 5% e n = 12,
(1 + 0,05)12 = 1,795856

Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59

Após ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia as observações abaixo e reflita sobre elas.

a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de juros SIMPLES, de quanto seria o montante?

Resposta: seria de R$ 160,00.

Por quê?

Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:

M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00

Por que o montante a juros compostos é maior?

Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.

Portanto, calculamos juros sobre juros.

Para deixarmos ainda mais clara a diferença entre o regime simples e o composto, montamos a tabela abaixo, mostrando como ficam os montantes intermediários, em cada mês, de R$ 100,00 aplicados a 5% a.m., nos dois regimes:

b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.

A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%.

c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também mudará.

Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRISMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:

i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90

O montante foi menor porque diminuímos o número de capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.

Exercícios resolvidos

3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.

Resolução:

Como  capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa anual em semestral e expressar o prazo em semestres

C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41

Vamos na tabela no final deste capítulo e … não tem n = 41. Na tabela dada, n só vai até 30. O que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30 . (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41 = 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490

M = 187.699,92

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

Vamos recordar a definição de taxas equivalentes, fornecida anteriormente:

Duas taxas são ditas EQUIVALENTES quando, referidas a períodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital , no mesmo prazo, produzem montantes iguais.

Traduzindo: duas taxas são equivalentes se, no mesmo prazo, tanto faz aplicar uma ou outra sobre o capital.

No regime de JUROS SIMPLES, as taxas equivalentes são também PROPORCIONAIS. Por exemplo: a juros simples, tanto faz eu aplicar R$ 100,00 à taxa de 2% ao mês durante 1 ano ou aplicar R$ 100,00 à taxa (proporcional à anterior) de 24% ao ano durante 1 ano. Tanto num caso como no outro eu vou ganhar a mesma coisa:

No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.

Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00 durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal. Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.

C = 100
capitalização mensal
i = 2% a.m. = 0,02
t = 1 ano = 12 meses => n = 12

M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,02)12
M = 100 . 1,268242
M = 126,82

Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de 126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.

Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada ANUALMENTE, o montante seria de:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,2682)1
M = 100 . 1,2682
M = 126,82

Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de 26,82% ao ano.

O mais importante é notarmos que:
(1 + 0,02)12 = (1 + 0,2682)1

Ou seja:

Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização forem iguais ao mesmo prazo.

Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas equivalentes, você impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.

De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (an). Considere, então, duas taxas i1 e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1 e M2. Sejam an,1 e an,2 os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i1 e i2 forem EQUIVALENTES, teremos que:

M1 = M2
C . an,1 = C . an,2

an,1 = an,2

Ou seja, os fatores de acumulação de capital an,1 e an,2 deverão ser iguais.

Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.

Exércicios resolvidos

Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.

Resolução:

Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem ser iguais no prazo de 1 ano. Segue que:
(1 + ianual)1 = (1 + 0,03)12

O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano, ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente da taxa “ianual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.

(1 + ianual) = 1,425760
ianual = 1,425760 – 1
ianual = 0,425760
ianual = 42,57% a.a.

Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.

Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal. Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a. corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).

Nesse exemplo, podemos também dizer que uma taxa nominal de 36% a.a. produz uma TAXA EFETIVA de 42,57% a.a.

A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.

Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.

Resolução:

Iea = taxa efetiva anual = ?
capitalização trimestral
in = 40% a.a. (taxa nominal) => ief (taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.
t = 1 ano = 4 trimestres

(1 + iea)1 = (1 + 0,10)4
1 + iea = 1,4641
iea = 0,4641
iea = 46,41% a.a.

Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34% a.s.?

Resolução:

Queremos uma taxa mensal im que, em 6 meses, produza uma taxa de 34%.

Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.

34% a.s. = 0,34 a.s.

(1 + im)6 = (1 + 0,34)
(1 + im)6 = 1,34

Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é 1,04998, o cálculo torna-se fácil:
1 + im = 1,04998
im = 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%

Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:
log 1,34 = 0,12710479
100,02118413 = 1,04998

Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois lados da equação anterior, para calcular o valor da taxa mensal. Ficaria assim:
log (1 + im)6 = log 1,34
6 . log (1 + im) = log 1,34
log (1 + im) = log 1,34/6
log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413
(1 + im) = 100,02118413
1 + im = 1,04998
im = 0,04998 = 4,9998% = 5%

Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com os olhos a linha n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor 1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, im = 5% a.m.

É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão fica inviável a resolução da expressão acima.

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