Exercícios sobre Valor Presente

1. Uma empresa deseja calcular o valor presente de um investimento que irá retornar R$ 10.000 daqui a 5 anos, com uma taxa de desconto de 8% ao ano. Qual é o valor presente desse investimento?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente (VP):

\[ VP = \frac{VF}{(1 + r)^n} \]

Onde:

– VF é o valor futuro
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

\[ VP = \frac{10,000}{(1 + 0.08)^5} \] \[ VP = \frac{10,000}{(1.08)^5} \] \[ VP ≈ \frac{10,000}{1.469} \] \[ VP ≈ 6809.92 \]

Portanto, o valor presente do investimento é aproximadamente R$ 6.809,92.

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2. Uma pessoa está planejando economizar R$ 500 por ano, durante 10 anos, em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros de 6% ao ano. Qual é o valor presente desses pagamentos (PMT)?

Solução:

Neste caso, como os pagamentos são iguais e ocorrem anualmente, podemos utilizar a fórmula do valor presente para uma anuidade:

\[ VP = Pmt \times \frac{(1 – (1 + r)^{-n})}{r} \]

Onde:

– Pmt é o valor do pagamento mensal
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

Substituindo os valores:

\[ VP = 500 \times \frac{(1 – (1 + 0.06)^{-10})}{0.06} \]

\[ VP = 500 \times \frac{(1 – (1.06)^{-10})}{0.06} \]

\[ VP = 500 \times \frac{(1 – 0.5584)}{0.06} \]

\[ VP = 500 \times \frac{0.4416}{0.06} \]

\[ VP ≈ 3633.33 \]

Portanto, o valor presente desses pagamentos é aproximadamente R$ 3.633,33.

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3. Uma empresa está considerando investir R$ 20.000 em um projeto que promete retornar R$ 35.000 daqui a 3 anos. Se a taxa de desconto é de 10% ao ano, vale a pena realizar esse investimento?

Solução:

Podemos comparar o valor presente do retorno do projeto com o investimento inicial para tomar uma decisão.

Utilizando a fórmula do valor presente (VP):

\[ VP = \frac{VF}{(1 + r)^n} \]

Onde:

– VF é o valor futuro
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

Substituindo os valores:

\[ VP = \frac{35,000}{(1 + 0.10)^3} \]

\[ VP = \frac{35,000}{(1.10)^3} \]

\[ VP = \frac{35,000}{1.331} \]

\[ VP ≈ 26263.13 \]

Como o valor presente do retorno é maior que o investimento inicial (R$ 26.263,13 > R$ 20.000), vale a pena realizar o investimento.

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4. Um empréstimo de R$ 10.000 deve ser pago em 3 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual é o valor do pagamento anual?

Solução:

Para calcular o pagamento anual de um empréstimo, podemos usar a fórmula do valor presente para uma anuidade:

\[ Pmt = VP \times \frac{r}{1 – (1 + r)^{-n}} \]

Onde:

– VP é o valor do empréstimo
– r é a taxa de juros
– n é o número de período

Substituindo os valores:

\[ Pmt = 10,000 \times \frac{0.08}{1 – (1 + 0.08)^{-3}} \]

\[ Pmt = 10,000 \times \frac{0.08}{1 – (1.08)^{-3}} \]

\[ Pmt = 10,000 \times \frac{0.08}{1 – 0.7938} \]

\[ Pmt = 10,000 \times \frac{0.08}{0.2062} \]

\[ Pmt ≈ 3,873.24 \]

Portanto, o valor do pagamento anual é aproximadamente R$ 3.873,24.

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5. Uma pessoa deseja acumular R$ 50.000 em sua conta de poupança em 8 anos. Se a taxa de juros é de 6% ao ano, quanto ela deve depositar anualmente?

Solução:

Este é um exemplo de um problema de valor presente para uma anuidade. Podemos usar a mesma fórmula utilizada no exercício anterior.

\[ Pmt = VP \times \frac{r}{1 – (1 + r)^{-n}} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ Pmt = 50,000 \times \frac{0.06}{1 – (1 + 0.06)^{-8}} \]

\[ Pmt = 50,000 \times \frac{0.06}{1 – (1.06)^{-8}} \]

\[ Pmt = 50,000 \times \frac{0.06}{1 – 0.46756} \]

\[ Pmt = 50,000 \times \frac{0.06}{0.53244} \]

\[ Pmt ≈ 5,624.23 \]

Portanto, ela deve depositar aproximadamente R$ 5.624,23 anualmente.

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6. Uma empresa deseja investir R$ 50.000 em um projeto que promete retornar R$ 80.000 daqui a 5 anos. Se a taxa de desconto é de 12% ao ano, qual é o valor presente desse projeto?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente:

\[ VP = \frac{VF}{(1 + r)^n} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ VP = \frac{80,000}{(1 + 0.12)^5} \]

\[ VP = \frac{80,000}{(1.12)^5} \]

\[ VP = \frac{80,000}{1.762341} \]

\[ VP ≈ 45,373.92 \]

Portanto, o valor presente do projeto é aproximadamente R$ 45.373,92.

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7. Um empréstimo de R$ 15.000 deve ser pago em 4 anos, com uma taxa de juros de 10% ao ano. Qual é o valor do pagamento anual?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

\[ Pmt = VP \times \frac{r}{1 – (1 + r)^{-n}} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ Pmt = 15,000 \times \frac{0.10}{1 – (1 + 0.10)^{-4}} \]

\[ Pmt = 15,000 \times \frac{0.10}{1 – (1.10)^{-4}} \]

\[ Pmt = 15,000 \times \frac{0.10}{1 – 0.68301} \]

\[ Pmt = 15,000 \times \frac{0.10}{0.31699} \]

\[ Pmt ≈ 5,526.71 \]

Portanto, o valor do pagamento anual é aproximadamente R$ 5.526,71.

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8. Uma pessoa deseja acumular R$ 100.000 em sua conta de poupança em 10 anos. Se a taxa de juros é de 8% ao ano, quanto ela deve depositar anualmente?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

\[ Pmt = VP \times \frac{r}{1 – (1 + r)^{-n}} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ Pmt = 100,000 \times \frac{0.08}{1 – (1 + 0.08)^{-10}} \]

\[ Pmt = 100,000 \times \frac{0.08}{1 – (1.08)^{-10}} \]

\[ Pmt = 100,000 \times \frac{0.08}{1 – 0.46657} \]

\[ Pmt = 100,000 \times \frac{0.08}{0.53343} \]

\[ Pmt ≈ 12,658.09 \]

Portanto, ela deve depositar aproximadamente R$ 12.658,09 anualmente.

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9. Uma empresa deseja calcular o valor presente de um fluxo de caixa que pagará R$ 5.000 por ano durante 7 anos, com uma taxa de desconto de 6% ao ano. Qual é o valor presente desse fluxo de caixa?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

\[ VP = Pmt \times \frac{(1 – (1 + r)^{-n})}{r} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ VP = 5000 \times \frac{(1 – (1 + 0.06)^{-7})}{0.06} \]

\[ VP = 5000 \times \frac{(1 – (1.06)^{-7})}{0.06} \]

\[ VP = 5000 \times \frac{(1 – 0.55131)}{0.06} \]

\[ VP = 5000 \times \frac{0.44869}{0.06} \]

\[ VP ≈ 37,445.77 \]

Portanto, o valor presente desse fluxo de caixa é aproximadamente R$ 37.445,77.

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10. Uma pessoa pretende economizar R$ 200 por mês em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros de 4% ao ano. Qual será o saldo da conta após 5 anos?

Solução:

Para encontrar o saldo da conta após 5 anos, precisamos calcular o valor futuro dos pagamentos mensais. Podemos usar a fórmula do valor futuro para uma anuidade:

\[ VF = Pmt \times \frac{(1 + r)^n – 1}{r} \]

Substituindo os valores conhecidos:

\[ VF = 200 \times \frac{(1 + 0.04)^{5 \times 12} – 1}{0.04} \]

\[ VF = 200 \times \frac{(1.04)^{60} – 1}{0.04} \]

\[ VF ≈ 12,236.33 \]

Portanto, o saldo da conta após 5 anos será aproximadamente R$ 12.236,33.