Exercícios sobre Valor Presente

1. Uma empresa deseja calcular o valor presente de um investimento que irá retornar R$ 10.000 daqui a 5 anos, com uma taxa de desconto de 8% ao ano. Qual é o valor presente desse investimento?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente (VP):

V P = \frac{V F}{(1 + r)^{n}}

Onde:

– VF é o valor futuro
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

V P = \frac{10, 000}{(1 + 0.08)^{5}}

V P = \frac{10, 000}{(1.08)^{5}}

V P \approx \frac{10, 000}{1.469}

V P \approx 6809.92

Portanto, o valor presente do investimento é aproximadamente R$ 6.809,92.

2. Uma pessoa está planejando economizar R$ 500 por ano, durante 10 anos, em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros de 6% ao ano. Qual é o valor presente desses pagamentos (PMT)?

Solução:

Neste caso, como os pagamentos são iguais e ocorrem anualmente, podemos utilizar a fórmula do valor presente para uma anuidade:

V P = P m t \times \frac{(1 - (1 + r)^{- n})}{r}

Onde:

– Pmt é o valor do pagamento mensal
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

Substituindo os valores:

$V P = 500 \times \frac{(1 - (1 + 0.06)^{- 10})}{0.06}$

$V P = 500 \times \frac{(1 - (1.06)^{- 10})}{0.06}$

$V P = 500 \times \frac{(1 - 0.5584)}{0.06}$

$V P = 500 \times \frac{0.4416}{0.06}$

$V P \approx 3633.33$

Portanto, o valor presente desses pagamentos é aproximadamente R$ 3.633,33.

3. Uma empresa está considerando investir R$ 20.000 em um projeto que promete retornar R$ 35.000 daqui a 3 anos. Se a taxa de desconto é de 10% ao ano, vale a pena realizar esse investimento?

Solução:

Podemos comparar o valor presente do retorno do projeto com o investimento inicial para tomar uma decisão.

Utilizando a fórmula do valor presente (VP):

$V P = \frac{V F}{(1 + r)^{n}}$

Onde:

– VF é o valor futuro
– r é a taxa de desconto
– n é o número de períodos

Substituindo os valores:

$V P = \frac{35, 000}{(1 + 0.10)^{3}}$

$V P = \frac{35, 000}{(1.10)^{3}}$

$V P = \frac{35, 000}{1.331}$

$V P \approx 26263.13$

Como o valor presente do retorno é maior que o investimento inicial (R$ 26.263,13 > R$ 20.000), vale a pena realizar o investimento.

4. Um empréstimo de R$ 10.000 deve ser pago em 3 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano. Qual é o valor do pagamento anual?

Solução:

Para calcular o pagamento anual de um empréstimo, podemos usar a fórmula do valor presente para uma anuidade:

$P m t = V P \times \frac{r}{1 - (1 + r)^{- n}}$

Onde:

– VP é o valor do empréstimo
– r é a taxa de juros
– n é o número de período

Substituindo os valores:

$P m t = 10, 000 \times \frac{0.08}{1 - (1 + 0.08)^{- 3}}$

$P m t = 10, 000 \times \frac{0.08}{1 - (1.08)^{- 3}}$

$P m t = 10, 000 \times \frac{0.08}{1 - 0.7938}$

$P m t = 10, 000 \times \frac{0.08}{0.2062}$

$P m t \approx 3, 873.24$

Portanto, o valor do pagamento anual é aproximadamente R$ 3.873,24.

5. Uma pessoa deseja acumular R$ 50.000 em sua conta de poupança em 8 anos. Se a taxa de juros é de 6% ao ano, quanto ela deve depositar anualmente?

Solução:

Este é um exemplo de um problema de valor presente para uma anuidade. Podemos usar a mesma fórmula utilizada no exercício anterior.

$P m t = V P \times \frac{r}{1 - (1 + r)^{- n}}$

Substituindo os valores conhecidos:

$P m t = 50, 000 \times \frac{0.06}{1 - (1 + 0.06)^{- 8}}$

$P m t = 50, 000 \times \frac{0.06}{1 - (1.06)^{- 8}}$

$P m t = 50, 000 \times \frac{0.06}{1 - 0.46756}$

$P m t = 50, 000 \times \frac{0.06}{0.53244}$

$P m t \approx 5, 624.23$

Portanto, ela deve depositar aproximadamente R$ 5.624,23 anualmente.

6. Uma empresa deseja investir R$ 50.000 em um projeto que promete retornar R$ 80.000 daqui a 5 anos. Se a taxa de desconto é de 12% ao ano, qual é o valor presente desse projeto?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente:

$V P = \frac{V F}{(1 + r)^{n}}$

Substituindo os valores conhecidos:

$V P = \frac{80, 000}{(1 + 0.12)^{5}}$

$V P = \frac{80, 000}{(1.12)^{5}}$

$V P = \frac{80, 000}{1.762341}$

$V P \approx 45, 373.92$

Portanto, o valor presente do projeto é aproximadamente R$ 45.373,92.

7. Um empréstimo de R$ 15.000 deve ser pago em 4 anos, com uma taxa de juros de 10% ao ano. Qual é o valor do pagamento anual?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

$P m t = V P \times \frac{r}{1 - (1 + r)^{- n}}$

Substituindo os valores conhecidos:

$P m t = 15, 000 \times \frac{0.10}{1 - (1 + 0.10)^{- 4}}$

$P m t = 15, 000 \times \frac{0.10}{1 - (1.10)^{- 4}}$

$P m t = 15, 000 \times \frac{0.10}{1 - 0.68301}$

$P m t = 15, 000 \times \frac{0.10}{0.31699}$

$P m t \approx 5, 526.71$

Portanto, o valor do pagamento anual é aproximadamente R$ 5.526,71.

8. Uma pessoa deseja acumular R$ 100.000 em sua conta de poupança em 10 anos. Se a taxa de juros é de 8% ao ano, quanto ela deve depositar anualmente?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

$P m t = V P \times \frac{r}{1 - (1 + r)^{- n}}$

Substituindo os valores conhecidos:

$P m t = 100, 000 \times \frac{0.08}{1 - (1 + 0.08)^{- 10}}$

$P m t = 100, 000 \times \frac{0.08}{1 - (1.08)^{- 10}}$

$P m t = 100, 000 \times \frac{0.08}{1 - 0.46657}$

$P m t = 100, 000 \times \frac{0.08}{0.53343}$

$P m t \approx 12, 658.09$

Portanto, ela deve depositar aproximadamente R$ 12.658,09 anualmente.

9. Uma empresa deseja calcular o valor presente de um fluxo de caixa que pagará R$ 5.000 por ano durante 7 anos, com uma taxa de desconto de 6% ao ano. Qual é o valor presente desse fluxo de caixa?

Solução:

Utilizando a fórmula do valor presente para uma anuidade:

$V P = P m t \times \frac{(1 - (1 + r)^{- n})}{r}$

Substituindo os valores conhecidos:

$V P = 5000 \times \frac{(1 - (1 + 0.06)^{- 7})}{0.06}$

$V P = 5000 \times \frac{(1 - (1.06)^{- 7})}{0.06}$

$V P = 5000 \times \frac{(1 - 0.55131)}{0.06}$

$V P = 5000 \times \frac{0.44869}{0.06}$

$V P \approx 37, 445.77$

Portanto, o valor presente desse fluxo de caixa é aproximadamente R$ 37.445,77.

10. Uma pessoa pretende economizar R$ 200 por mês em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros de 4% ao ano. Qual será o saldo da conta após 5 anos?

Solução:

Para encontrar o saldo da conta após 5 anos, precisamos calcular o valor futuro dos pagamentos mensais. Podemos usar a fórmula do valor futuro para uma anuidade:

$V F = P m t \times \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r}$

Substituindo os valores conhecidos:

$V F = 200 \times \frac{(1 + 0.04)^{5 \times 12} - 1}{0.04}$

$V F = 200 \times \frac{(1.04)^{60} - 1}{0.04}$

$V F \approx 12, 236.33$

Portanto, o saldo da conta após 5 anos será aproximadamente R$ 12.236,33.

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