Cálculo do Juro Composto

O conceito de montante em uma aplicação financeira é fundamental para entendermos o retorno total obtido ao longo do tempo. Ele é composto pelo capital inicial investido, os juros acumulados ao longo do período determinado e conforme a taxa de juros acordada.

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A fórmula para calcular os juros acumulados, J_n, é uma ferramenta valiosa nesse contexto. Ela nos permite determinar quanto de juros será ganho ao longo de um período específico. Aqui estão os componentes essenciais da fórmula:

J_n: Representa os juros acumulados ao final do período n.
C₀: Refere-se ao capital inicial, ou seja, o montante inicialmente investido.
i: Indica a taxa de juros aplicada, expressa geralmente como uma porcentagem.
n: Representa o número de períodos pelos quais o capital é investido.

A fórmula em si é uma expressão da diferença entre o montante total acumulado após n períodos e o capital inicial C₀. Isso é calculado elevando-se a taxa de juros i mais 1 à potência de n (representando o efeito da capitalização dos juros ao longo do tempo), e subtraindo 1 para descontar o capital inicial.

É importante ressaltar que essa fórmula é válida para o contexto de juros compostos, onde os juros ganhos em cada período são incorporados ao montante total, resultando em um crescimento exponencial do capital ao longo do tempo.

Portanto, ao utilizar essa fórmula, podemos calcular com precisão os juros acumulados em uma aplicação financeira, o que nos permite tomar decisões informadas sobre investimentos e entender melhor o potencial de retorno ao longo do tempo.

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 1:
Determine o valor dos juros pagos em um empréstimo de R$ 3.500,00 com taxa de juros de 2% a.m. pelo período de quatro meses.

$ C_0 = R\$ 3.500,00 $

$ i = 2\% $ ao mês

$ n = 4 $ meses

Usando a fórmula dos juros compostos:

\[ J_n = C_0 [(1 + i)^n -1] \]

Substituindo os valores:

\[ J_4 = 3500 [(1 + 0.02)^4 – 1] \]

\[ J_4 = 3500 [(1.02)^4 – 1] \]

\[ J_4 = 3500 [(1.082856 – 1)] \]

\[ J_4 = 3500 \times 0.082856 \]

\[ J_4 = R\$ 289.996 \]

Portanto, os juros pagos serão R$ 289,99.

Exemplo 2:
Você emprestou R$ 5.000,00 a uma taxa de juros de 1.5% a.m. por seis meses. Quanto você receberá de juros ao final do período?

$ C_0 = R\$ 5.000,00 $

$ i = 1.5\% $ ao mês

$ n = 6 $ meses

Usando a mesma fórmula, teremos:

\[ J_6 = 5000 [(1 + 0.015)^6 – 1] \]

\[ J_6 = 5000 [(1.015)^6 – 1] \]

\[ J_6 = 5000 [(1.093164 – 1)] \]

\[ J_6 = 5000 \times 0.093164 \]

\[ J_6 = R\$ 465.82 \]

Os juros recebidos serão R$ 465,82.

Exemplo 3:
Um título de investimento de R$ 10.000,00 rende juros compostos a uma taxa de 0.8% a.m. Qual será o valor total acumulado após nove meses?

$ C_0 = R\$ 10.000,00 $

$ i = 0.8\% $ ao mês

$ n = 9 $ meses

Usando a fórmula dos juros compostos:

\[ J_9 = 10000 [(1 + 0.008)^9 – 1] \]

\[ J_9 = 10000 [(1.008)^9 – 1] \]

\[ J_9 = 10000 [(1.072812 – 1)] \]

\[ J_9 = 10000 \times 0.072812 \]

\[ J_9 = R\$ 728.12 \]

Portanto, os juros acumulados serão R$ 728,12.

Exemplo 4:
Um financiamento de R$ 8.000,00 foi realizado com uma taxa de juros de 3% a.m. Qual será o valor total pago ao final de sete meses?

$ C_0 = R\$ 8.000,00 $

$ i = 3\% $ ao mês

$ n = 7 $ meses

Aplicando a mesma fórmula:

\[ J_7 = 8000 [(1 + 0.03)^7 – 1] \]

\[ J_7 = 8000 [(1.03)^7 – 1] \]

\[ J_7 = 8000 [(1.244727 – 1)] \]

\[ J_7 = 8000 \times 0.244727 \]

\[ J_7 = R\$ 1957.82 \]

Assim, o valor total pago ao final de sete meses será R$ 1.957,82.

Exemplo 5:
Você está investindo R$ 15.000,00 em uma aplicação com juros compostos a uma taxa de 1.2% a.m. por um ano. Qual será o montante total ao final do período?

$ C_0 = R\$ 15.000,00 $

$ i = 1.2\% $ ao mês

$ n = 12 $ meses

Aplicando a mesma fórmula:

\[ M_{12} = 15000 [(1 + 0.012)^{12}] \]

\[ M_{12} = 15000 \times 1.012^{12} \]

\[ M_{12} = 15000 \times 1.158927 \]

\[ M_{12} = R\$ 17383.90 \]

Portanto, o montante total ao final do período será R$ 17.383,90.

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