Capitais equivalentes

Ao lidar com finanças, muitas vezes nos deparamos com a decisão de quitar uma dívida conforme está ou renegociá-la. Você provavelmente já ouviu falar de termos como “compramos sua dívida” ou “troque sua dívida por outra”, mas o que exatamente isso significa? No primeiro momento, pode parecer estranho comprar ou trocar uma dívida, mas essas expressões têm um significado específico. Este tópico explora situações como essas, introduzindo o conceito de equivalência de capitais. Esse conceito envolve a comparação de valores monetários em diferentes datas e taxas de juros. Compreendendo esses conceitos, você pode aplicá-los tanto em sua vida pessoal quanto profissional. Por exemplo, R$ 1.000,00 hoje pode ser equivalente a R$ 1.100,00 daqui a um ano, dependendo das condições financeiras envolvidas.

Continuando nossa exploração, vamos aprofundar o tema da equivalência de capitais, que nos permite transformar diferentes formas de pagamento em outras aparentemente distintas, mas que, no fundo, são equivalentes. Além disso, essa ferramenta nos auxilia na avaliação financeira de diferentes alternativas, como a substituição de títulos por outros. É importante ressaltar que os cálculos geralmente envolvem juros compostos.

Ao lidar com transações financeiras, é comum antecipar ou atrasar pagamentos de títulos, bem como trocar um título por outro. Nestes casos, é crucial utilizar os conceitos de equivalência de capitais ou capitais equivalentes para garantir que estamos tratando dos mesmos valores. Isso requer o entendimento de conceitos fundamentais, como a data focal, que é a referência para comparar valores em diferentes datas. A equação de valor é outra ferramenta importante, permitindo igualar capitais diferentes em diferentes períodos, trazendo-os para uma mesma data focal com taxas de juros fixas.

Dois ou mais capitais são considerados equivalentes quando, levados para a mesma data focal e taxa de juros, possuem valores idênticos.

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Exemplo:

Suponha que você tenha a receber um valor nominal de R$ 20.000,00 daqui a dois anos, e possui R$ 25.000,00 hoje para investir com uma taxa de juros de 2% ao mês. Considerando essa taxa de juros, perguntamos: Quanto você tem hoje? Quanto você terá daqui a um ano? E, quanto você terá daqui a dois anos?

Solução:

Hoje: \(25.000,00 + \frac{20.000,00}{(1 + 0,02)^{24}} = 25.000,00 + 12.434,43 = 37.434,43\)

Daqui a um ano: \(25.000,00 \times (1,02)^{12} + \frac{20.000,00}{(1+0,02)^{12}} = 31.706,04 + 15.770,38 = 47.476,42\)

Daqui a dois anos: \(25.000,00 \times (1,02)^{24} + 20.000,00 = 40.210,93 + 20.000,00 = 60.210,93\)

Adotando uma taxa de juros (i), os capitais serão equivalentes na data focal zero se:

\[VA = \frac{C1}{(1+i)^1} = \frac{C2}{(1+i)^2} = \frac{C3}{(1+i)^3} = … = \frac{Cn}{(1+i)^n}\]

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Exemplo:

Vamos analisar se os capitais ao longo de 4 anos são equivalentes, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao ano. Os valores dos capitais nos quatro anos são dados por \(V_1 = 1000\), \(V_2 = 1040\), \(V_3 = 1081.6\), e \(V_4 = 1124.86\). Nosso objetivo é determinar se esses capitais são equivalentes na data focal zero.

Para isso, podemos calcular o valor presente de cada capital utilizando a fórmula de valor presente para juros compostos:

\[VP = \frac{FV}{(1 + i)^n}\]

Onde:

• (VP) é o valor presente,
• (FV) é o valor futuro,
• (i) é a taxa de juros por período, e
• (n) é o número de períodos.

Vamos representar os quatro valores futuros como \(V_1 \text{, } V_2 \text{, } V_3 \text{, e } V_4\), e seus respectivos valores presentes como \(VP_1 \text{, } VP_2 \text{, } VP_3 \text{, e } VP_4\).

Se todos os valores presentes forem iguais, então os capitais serão considerados equivalentes na data focal zero.

Aqui está a solução:

Para \((V_1 = 1000)\):
\[VP_1 = \frac{1000}{(1 + 0.04)^1} = \frac{1000}{1.04} \approx 961.54\]

Para \((V_2 = 1040)\):
\[VP_2 = \frac{1040}{(1 + 0.04)^2} = \frac{1040}{1.0816} \approx 961.54\]

Para \((V_3 = 1081.6)\):
\[VP_3 = \frac{1081.6}{(1 + 0.04)^3} = \frac{1081.6}{1.1259} \approx 961.54\]

Para \((V_4 = 1124.86)\):
\[VP_4 = \frac{1124.864}{(1 + 0.04)^4} = \frac{1124.864}{1.1699} \approx 961.54\]

Como todos os valores presentes são aproximadamente iguais a R$ 961.54, podemos concluir que os capitais são equivalentes na data focal zero.

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Exemplo:

Admitindo uma taxa de juros compostos de 6% ao ano, vamos verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero. Se os valores presentes forem iguais, então os capitais serão considerados equivalentes. Portanto, calcularemos o valor presente de diferentes montantes para determinar sua equivalência.

Suponha que tenhamos os seguintes valores futuros:
\(V_1 = R\$ 10.000,00\) com vencimento em 1 ano.
\(V_2 = R\$ 12.000,00\) com vencimento em 2 anos.
\(V_3 = R\$ 14.000,00\) com vencimento em 3 anos.

Para verificar a equivalência dos capitais na data focal zero, calcularemos o valor presente de cada um dos valores futuros com a taxa de juros de 6% ao ano.

\[VP_1 = \frac{V_1}{(1+0,06)^1}\]
\[VP_2 = \frac{V_2}{(1+0,06)^2}\]
\[VP_3 = \frac{V_3}{(1+0,06)^3}\]

Calculando:

\[VP_1 = \frac{10.000,00}{(1+0,06)^1} = \frac{10.000,00}{1,06} \approx R\$ 9.433,96\]
\[VP_2 = \frac{12.000,00}{(1+0,06)^2} = \frac{12.000,00}{1,1236} \approx R\$ 10.676,56\]
\[VP_3 = \frac{14.000,00}{(1+0,06)^3} = \frac{14.000,00}{1,191016} \approx R\$ 11.746,03\]

Como os valores presentes \(VP_1 \text{, } VP_2 \text{, e } VP_3\) são diferentes, podemos concluir que os capitais não são equivalentes na data focal zero.

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