Períodos não-inteiros

Quando lidamos com períodos não inteiros, é necessário ajustar a fórmula para calcular a parcela equivalente a esses períodos. Esse processo é conhecido como capitalização descontínua. Em situações assim, ocorrem operações com capitalizações anuais e um período fornecido em anos e meses. Portanto, é crucial determinar a parcela equivalente aos meses.

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Neste contexto, adotaremos a convenção exponencial para realizar esses cálculos. Isso implica em expressar a taxa de juros como uma fração da unidade, elevada à potência correspondente ao número total de períodos.

Esse método nos permite lidar com períodos não inteiros de forma precisa e eficiente, garantindo que possamos calcular os juros compostos de maneira adequada em diferentes cenários temporais.

Como resolver:

Para determinar o valor dos juros compostos, seguimos dois passos:

  1. Primeiro, calculamos o montante utilizando a fórmula dos juros compostos:
    \[ C_n = C_0 \times (1 + i)^n \]

Onde:

  • Cn é o montante final,
  • C0 é o capital inicial,
  • i é a taxa de juros por período,
  • n é o número de períodos.
  1. Em seguida, calculamos a taxa equivalente ao intervalo de tempo desejado. Para isso, usamos uma das seguintes fórmulas, dependendo da fração ( p/q ) representando o período fracionado e o período inteiro:

\[ i_{eq} = \left(1 + \frac{i}{q}\right)^p – 1 \]

ou

\[ i_{eq} = \left(1 + \frac{i}{p}\right)^q – 1 \]

Após determinar a taxa equivalente para o intervalo de tempo fracionado, capitalizamos o montante pelo período desejado para obter o resultado final.

A fórmula resultante é:

\[ C_n = C_0 \times \left(1 + \frac{i_{eq}}{q}\right)^{q \times p} \]

Substituindo o valor de Cn na equação, temos:

\[ C_0 \times (1 + i)^n = C_0 \times \left(1 + \frac{i_{eq}}{q}\right)^{q \times p} \]

Onde:

  • p representa o período fracionado (por exemplo, meses, se estivermos trabalhando com anos),
  • q representa o período inteiro.

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