Taxa efetiva

A taxa efetiva é a taxa real cobrada durante o período especificado, independentemente da frequência de capitalização. Quando precisamos ajustar uma taxa para a frequência de capitalização desejada, recorremos à equivalência de capitais. Isso envolve o processo de acumulação de juros sob o regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização.

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A taxa efetiva é calculada pela seguinte expressão:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + i)^q – 1 \]

Onde ( q ) representa o número de períodos de capitalização dos juros. Essa fórmula nos permite determinar a taxa real de juros, levando em consideração o efeito da capitalização ao longo do tempo, facilitando a comparação e análise de diferentes opções de investimento ou empréstimo.

Exemplos

Exemplo 1

Suponha uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Quanto isso representaria em termos efetivos ao ano?

Solução:

Para encontrar a taxa efetiva ao ano, usamos a fórmula:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + i)^{12} – 1 \]

Substituindo \( i = 0.025 \) (que representa 2,5% na forma decimal) na fórmula, temos:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + 0.025)^{12} – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1.025)^{12} – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 1.349865 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 0.349865 \]

Portanto, a taxa de juros de 2,5% ao mês representa aproximadamente 34.99% ao ano em termos efetivos.

Exemplo 2

Imagine uma taxa de juros de 1,2% ao trimestre. Qual seria essa taxa em termos efetivos ao ano?

Solução:

Usando a mesma fórmula:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + i)^4 – 1 \]

Substituindo \( i = 0.012 \) (representando 1,2% em forma decimal) na fórmula:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + 0.012)^4 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1.012)^4 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 1.048243 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 0.048243 \]

Portanto, a taxa de juros de 1,2% ao trimestre representa aproximadamente 4.82% ao ano em termos efetivos.

Exemplo 3

Considere uma taxa de juros de 5% ao semestre. Qual seria essa taxa em termos efetivos ao ano?

Solução:

Utilizando a mesma fórmula:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + i)^2 – 1 \]

Substituindo \( i = 0.05 \) (representando 5% em forma decimal) na fórmula:

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1 + 0.05)^2 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = (1.05)^2 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 1.1025 – 1 \]

\[ \text{Taxa efetiva (if)} = 0.1025 \]

Portanto, a taxa de juros de 5% ao semestre representa aproximadamente 10.25% ao ano em termos efetivos.

Esses exemplos ilustram como calcular a taxa efetiva ao ano a partir de taxas de juros expressas em diferentes períodos de capitalização.

Taxa efetiva e Taxa Nominal

A taxa nominal ocorre quando o período de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com o período ao qual se refere a taxa de juros. Para compreender melhor, vamos resolver este exemplo:

Se um banco concede empréstimos no valor de R$ 1.000,00, com taxa de 8% ao ano, porém adotando a capitalização semestral de juros. A pergunta é: quanto você pagaria de juros após 1 ano?

Solução

  1. Primeiramente, devemos entender que a taxa de juros de 8% ao ano é a taxa nominal.
  2. Como os juros são capitalizados semestralmente, precisamos ajustar essa taxa nominal para o período de capitalização, ou seja, para o semestre. Para isso, dividimos a taxa de 8% ao ano por 2 (uma vez que há dois semestres em um ano).
  3. Portanto, a taxa de juros por semestre seria \( \frac{8\%}{2} = 4\% \).
  4. Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos para calcular o montante ao final de 1 ano, considerando a capitalização semestral.

A fórmula dos juros compostos é dada por:

\[ M = C \times (1 + i)^n \]

Onde:

  • M é o montante total ao final do período,
  • C é o capital inicial (R$ 1.000,00 neste caso),
  • i é a taxa de juros por período (4% neste caso, pois estamos considerando semestralmente),
  • n é o número de períodos (2 semestres neste caso, já que estamos olhando para 1 ano).

Substituindo os valores na fórmula:

\[ M = 1000 \times (1 + 0.04)^2 \] \[ M = 1000 \times (1.04)^2 \] \[ M = 1000 \times 1.0816 \] \[ M = 1081.60 \]
  1. Agora, para encontrar o valor dos juros, subtraímos o capital inicial do montante total:

    2. \[ Juros = M – C \] \[ Juros = 1081.60 – 1000 \] \[ Juros = 81.60 \]

Portanto, você pagaria R$ 81,60 de juros após 1 ano, considerando a capitalização semestral, ao receber um empréstimo de R$ 1.000,00 com taxa de 8% ao ano.

Portanto, o montante total ao final do período será R$ 17383,90.

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