Taxas equivalentes

Consideram-se duas taxas como equivalentes, se na hipótese de aplicá-las a um mesmo prazo e a um mesmo capital for indiferente aplicar em uma ou em outra.

A fórmula para calcular a taxa de juros equivalente em juros compostos é dada por:

\[ i_{eq} = (1 + i)^n – 1 \]

Onde:

– \( i_{eq} \) é a taxa de juros equivalente,

– \( i \) é a taxa de juros por período (geralmente expressa como uma porcentagem),

– \( n \) é o número de períodos.

Essa fórmula é útil quando queremos expressar a taxa de juros em uma base anual ou em outro período diferente do utilizado nos cálculos originais. Ela nos permite comparar taxas de juros que são compostas em diferentes frequências (por exemplo, mensal, trimestral, anual, etc.) em uma base equivalente.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:
Suponha que você tenha um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 2% ao mês. Qual é a taxa de juros equivalente em base anual?

Solução:
Usando a fórmula da taxa de juros equivalente em juros compostos:
\[ i_{eq} = (1 + i)^n – 1 \]

Substituindo os valores:

\[ i_{eq} = (1 + 0.02)^{12} – 1 \] \[ i_{eq} = (1.02)^{12} – 1 \] \[ i_{eq} = 1.268242 – 1 \] \[ i_{eq} = 0.268242 \]

Portanto, a taxa de juros equivalente em base anual é aproximadamente 26.82%.

Exemplo 2:
Você tem um empréstimo com uma taxa de juros de 1.5% ao mês. Qual é a taxa de juros equivalente em base semestral?

Solução:
Utilizando a mesma fórmula:

\[ i_{eq} = (1 + 0.015)^6 – 1 \] \[ i_{eq} = (1.015)^6 – 1 \] \[ i_{eq} = 1.093164 – 1 \] \[ i_{eq} = 0.093164 \]

Portanto, a taxa de juros equivalente em base semestral é aproximadamente 9.32%.

Exemplo 3:
Digamos que você esteja analisando um investimento que oferece uma taxa de juros de 8% ao ano, compostos trimestralmente. Qual seria a taxa de juros equivalente em base mensal?

Solução:
Aplicando a fórmula da taxa de juros equivalente em juros compostos:

\[ i_{eq} = (1.08)^{\frac{1}{4}} – 1 \] \[ i_{eq} = (1.02)^3 – 1 \] \[ i_{eq} = 1.061032 – 1 \] \[ i_{eq} = 0.061032 \]

Portanto, a taxa de juros equivalente em base mensal é aproximadamente 6.10%.

Exemplo 4:
Suponha que você esteja comparando duas opções de empréstimo. O primeiro empréstimo tem uma taxa de juros de 3% ao mês, enquanto o segundo tem uma taxa de juros de 36% ao ano, compostos semestralmente. Qual empréstimo tem uma taxa de juros equivalente mais alta?

Solução:
Vamos calcular as taxas de juros equivalentes para cada opção e então compará-las.

Para o primeiro empréstimo:

\[ i_{eq1} = (1 + 0.03)^{12} – 1 \] \[ i_{eq1} = (1.03)^{12} – 1 \] \[ i_{eq1} = 1.430579 – 1 \] \[ i_{eq1} = 0.430579 \]

Para o segundo empréstimo:

\[ i_{eq2} = (1 + \frac{0.36}{2})^2 – 1 \] \[ i_{eq2} = (1.18)^2 – 1 \] \[ i_{eq2} = 1.3924 – 1 \] \[ i_{eq2} = 0.3924 \]

Portanto, a taxa de juros equivalente para o primeiro empréstimo é de aproximadamente 43.06%, enquanto para o segundo é de cerca de 39.24%. Logo, o primeiro empréstimo tem uma taxa de juros equivalente mais alta.

Exemplo 5:
Imagine que você esteja analisando uma conta de investimento que promete uma taxa de juros anual de 10%, compostos mensalmente. Qual seria a taxa de juros equivalente em base trimestral?

Solução:
Aplicando a fórmula:
\[ i_{eq} = (1 + 0.10)^{\frac{1}{3}} – 1 \]

Substituindo os valores:

\[ i_{eq} = (1.10)^{\frac{1}{3}} – 1 \] \[ i_{eq} = 1.0441 – 1 \] \[ i_{eq} = 0.0441 \]

Portanto, a taxa de juros equivalente em base trimestral seria aproximadamente 4.41%.

Estes exemplos ilustram como calcular a taxa de juros equivalente em juros compostos em diferentes bases temporais, permitindo uma comparação mais precisa entre diferentes opções de investimento ou empréstimo.

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